Halmazok generálása a csoportelméletben

A matematikában egy csoport generáló halmaza (vagy generáló családja) a csoport olyan részhalmaza, amelynek elemei kombinálhatók a csoport összes többi elemének előállításához. Más szóval, ha a csoport bármely elemét vesszük, felírhatjuk a generáló halmaz elemeinek szorzataként.

Például az {1, 2, 3} halmaz az összeadás alatt álló egészek csoportjának generáló halmaza , mert ezeknek az elemeknek az összegeként tetszőleges egész számot felírhatunk:

1 + 2 + 3 = 6
2 + 3 + 1 = 6
3 + 1 + 2 = 6

Ebben az esetben a generáló halmaz három elemből áll, de sok más lehetséges generáló halmazokat ugyanahhoz a csoporthoz. Például a {2, 3, 4} az összeadás alatt álló egészek csoportjának generáló halmaza is, mivel ezeknek az elemeknek az összegeként tetszőleges egész számot írhatunk:

2 + 3 + 4 = 9
3 + 4 + 2 = 9
4 + 2 + 3 = 9

Általánosságban elmondható, hogy egy generátorkészletnek nem kell a csoport összes eleméből állnia, és könnyebb lehet egy kisebb generátorkészlettel dolgozni, mint a teljes csoporttal.

A „generatrices” kifejezést nem használják általánosan a matematikában. , de úgy tűnik, hogy egy generáló halmaz elemeire hivatkozik. Ebben az esetben a generátorok az {1, 2, 3} vagy {2, 3, 4} elemek lennének, attól függően, hogy melyik generátorkészletet választjuk.