Gerando Conjuntos na Teoria dos Grupos

Em matemática, um conjunto gerador (ou família geradora) de um grupo é um subconjunto do grupo cujos elementos podem ser combinados para produzir todos os outros elementos do grupo. Em outras palavras, se tomarmos qualquer elemento do grupo, podemos escrevê-lo como um produto de elementos do conjunto gerador.

Por exemplo, o conjunto {1, 2, 3} é um conjunto gerador do grupo de inteiros sob adição , porque podemos escrever qualquer número inteiro como a soma destes elementos:

1 + 2 + 3 = 6
2 + 3 + 1 = 6
3 + 1 + 2 = 6

Neste caso, o conjunto gerador é composto por três elementos, mas existem muitos outros possíveis geradores para o mesmo grupo. Por exemplo, {2, 3, 4} também é um conjunto gerador do grupo de inteiros sob adição, porque podemos escrever qualquer número inteiro como uma soma destes elementos:

2 + 3 + 4 = 9
3 + 4 + 2 = 9
4 + 2 + 3 = 9

Em geral, um conjunto gerador não precisa consistir de todos os elementos do grupo, e pode ser mais fácil trabalhar com um conjunto gerador menor do que com o grupo inteiro.

O termo "geratrizes" não é comumente usado em matemática , mas parece que você o está usando para se referir aos elementos de um conjunto gerador. Neste caso, as geratrizes seriam os elementos {1, 2, 3} ou {2, 3, 4}, dependendo do conjunto gerador que escolhermos utilizar.