Какво е метрика в математиката?

Метриката е начин за измерване на нещо. В математиката метрика е функция, която определя разстоянието между две точки в набор. Разстоянието обикновено се определя като величината на разликата между двете точки.

Например, разгледайте линията с реални числа, която е набор от всички реални числа. Можем да дефинираме метрика на този набор, като използваме абсолютната стойност на разликата между две реални числа. Това означава, че разстоянието между две точки x и y е дадено от |x - y|.

На по-технически термини, метрика е функция d: X × X → R (където X е множеството, което се измерва, а R е множеството на реални числа), който отговаря на следните три свойства:

1. Неотрицателност: d(x, y) ≥ 0 за всички x, y в X и d(x, y) = 0 тогава и само ако x = y.
2. Симетрия: d(x, y) = d(y, x) за всички x, y в X.
3. Неравенство на триъгълник: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) за всички x, y, z в X.

Метричното пространство (X, d) е множество X заедно с метрика d който отговаря на горните свойства. Метричното пространство може да се използва за дефиниране на понятия като разстояние, съседство и конвергенция.

В обобщение, метриката е начин за измерване на разстояния между точки в набор, а метричното пространство е набор заедно с метрика, която дефинира разстоянията между точките в комплекта.