O que é uma métrica em matemática?

Uma métrica é uma forma de medir algo. Em matemática, uma métrica é uma função que atribui uma distância entre dois pontos em um conjunto. A distância é geralmente definida como a magnitude da diferença entre os dois pontos.

Por exemplo, considere a linha dos números reais, que é um conjunto de todos os números reais. Podemos definir uma métrica neste conjunto utilizando o valor absoluto da diferença entre dois números reais. Isso significa que a distância entre dois pontos x e y é dada por |x - y|.

Em termos mais técnicos, uma métrica é uma função d: X × X → R (onde X é o conjunto que está sendo medido e R é o conjunto de números reais) que satisfaz as três propriedades a seguir:

1. Não negatividade: d(x, y) ≥ 0 para todo x, y em X e d(x, y) = 0 se e somente se x = y.
2. Simetria: d(x, y) = d(y, x) para todo x, y em X.
3. Desigualdade triangular: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) para todo x, y, z em X.

O espaço métrico (X, d) é um conjunto X junto com uma métrica d que satisfaz as propriedades acima. O espaço métrico pode ser usado para definir conceitos como distância, vizinhança e convergência.

Em resumo, uma métrica é uma forma de medir distâncias entre pontos em um conjunto, e um espaço métrico é um conjunto junto com uma métrica que define as distâncias entre pontos do conjunto.