Что такое метрика в математике?

Метрика — это способ измерения чего-либо. В математике метрика — это функция, задающая расстояние между двумя точками множества. Расстояние обычно определяется как величина разницы между двумя точками.

Например, рассмотрим линию действительных чисел, которая представляет собой набор всех действительных чисел. Мы можем определить метрику этого набора, используя абсолютное значение разницы между двумя действительными числами. Это означает, что расстояние между двумя точками x и y определяется выражением |x - y|.

В более технических терминах метрика представляет собой функцию d: X × X → R (где X — измеряемый набор, а R — набор действительных чисел), который удовлетворяет следующим трем свойствам:

1. Неотрицательность: d(x, y) ≥ 0 для всех x, y в X и d(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y.
2. Симметрия: d(x, y) = d(y, x) для всех x, y в X.
3. Неравенство треугольника: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) для всех x, y, z в X.

Метрическое пространство (X, d) представляет собой множество X вместе с метрикой d который удовлетворяет вышеуказанным свойствам. Метрическое пространство можно использовать для определения таких понятий, как расстояние, окрестности и сходимость. между точками в наборе.