Що таке метрика в математиці?

Метрика – це спосіб вимірювання чогось. У математиці метрика — це функція, яка визначає відстань між двома точками в наборі. Відстань зазвичай визначається як величина різниці між двома точками.

Наприклад, розглянемо лінію дійсних чисел, яка є набором усіх дійсних чисел. Ми можемо визначити метрику на цьому наборі, використовуючи абсолютне значення різниці між двома дійсними числами. Це означає, що відстань між двома точками x і y задається як |x - y|.

У більш технічних термінах метрика — це функція d: X × X → R (де X — вимірювана множина, а R — множина дійсних чисел), що задовольняє такі три властивості:

1. Невід’ємність: d(x, y) ≥ 0 для всіх x, y в X і d(x, y) = 0 тоді і тільки тоді, коли x = y.
2. Симетрія: d(x, y) = d(y, x) для всіх x, y в X.
3. Нерівність трикутника: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) для всіх x, y, z у X.

Метричний простір (X, d) — це множина X разом із метрикою d що задовольняє наведені вище властивості. Метричний простір можна використовувати для визначення таких понять, як відстань, околиці та конвергенція.

Загалом, метрика – це спосіб вимірювання відстані між точками в наборі, а метричний простір – це набір разом із метрикою, що визначає відстані між точками в наборі.