Mikä on metriikka matematiikassa?

Mittari on tapa mitata jotain. Matematiikassa metriikka on funktio, joka määrittää joukon kahden pisteen välisen etäisyyden. Etäisyys määritellään yleensä kahden pisteen välisen eron suuruudeksi.

Otetaan esimerkiksi reaalilukuviiva, joka on joukko reaalilukuja. Voimme määrittää metriikan tälle joukolle käyttämällä kahden reaaliluvun välisen eron itseisarvoa. Tämä tarkoittaa, että kahden pisteen x ja y välinen etäisyys saadaan |x - y|.

Teknisemmin sanottuna metriikka on funktio d: X × X → R (jossa X on mitattava joukko ja R on joukko reaalilukujen), joka täyttää seuraavat kolme ominaisuutta:

1. Ei-negatiivisuus: d(x, y) ≥ 0 kaikille x:ille, y X:ssä ja d(x, y) = 0 jos ja vain jos x = y.
2. Symmetria: d(x, y) = d(y, x) kaikille X:n x:ille, y:lle.
3. Kolmio-epäyhtälö: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) kaikille x, y, z X:ssä.

Metriavaruus (X, d) on joukko X yhdessä metriikan d kanssa joka täyttää yllä olevat ominaisuudet. Metrinen avaruuden avulla voidaan määritellä käsitteitä, kuten etäisyys, lähialueet ja lähentyminen.

Yhteenvetona voidaan todeta, että metriikka on tapa mitata joukon pisteiden välisiä etäisyyksiä, ja metriavaruus on joukko yhdessä etäisyydet määrittelevän metriikan kanssa. joukon pisteiden välillä.