Vad är ett mått i matematik?

Ett mått är ett sätt att mäta något. Inom matematik är ett mått en funktion som tilldelar ett avstånd mellan två punkter i en mängd. Avståndet definieras vanligtvis som storleken på skillnaden mellan de två punkterna.

Tänk till exempel på linjen med reella tal, som är en uppsättning av alla reella tal. Vi kan definiera ett mått på denna uppsättning genom att använda det absoluta värdet av skillnaden mellan två reella tal. Det betyder att avståndet mellan två punkter x och y ges av |x - y|.

I mer tekniska termer är en metrik en funktion d: X × X → R (där X är mängden som mäts och R är mängden av reella tal) som uppfyller följande tre egenskaper:

1. Icke-negativitet: d(x, y) ≥ 0 för alla x, y i X och d(x, y) = 0 om och endast om x = y.
2. Symmetri: d(x, y) = d(y, x) för alla x, y i X.
3. Triangelolikhet: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) för alla x, y, z i X.

Det metriska rummet (X, d) är en mängd X tillsammans med en metrisk d som uppfyller ovanstående egenskaper. Det metriska utrymmet kan användas för att definiera begrepp som avstånd, grannskap och konvergens.

Sammanfattningsvis är ett mått ett sätt att mäta avstånd mellan punkter i en mängd, och ett metriskt utrymme är en mängd tillsammans med ett mått som definierar avstånden mellan punkter i setet.