Was ist eine Metrik in der Mathematik?

Eine Metrik ist eine Möglichkeit, etwas zu messen. In der Mathematik ist eine Metrik eine Funktion, die einen Abstand zwischen zwei Punkten in einer Menge zuordnet. Der Abstand wird normalerweise als die Grö+e der Differenz zwischen den beiden Punkten definiert.

Betrachten Sie beispielsweise die Linie der reellen Zahlen, die eine Menge aller reellen Zahlen ist. Wir können eine Metrik für diesen Satz definieren, indem wir den Absolutwert der Differenz zwischen zwei reellen Zahlen verwenden. Dies bedeutet, dass der Abstand zwischen zwei Punkten x und y durch |x - y| gegeben ist.

Technisch gesehen ist eine Metrik eine Funktion d: X × X → R (wobei X die gemessene Menge und R die Menge ist der reellen Zahlen), die die folgenden drei Eigenschaften erfüllt:

1. Nichtnegativität: d(x, y) ≥ 0 für alle x, y in X und d(x, y) = 0 genau dann, wenn x = y.
2. Symmetrie: d(x, y) = d(y, x) für alle x, y in X.
3. Dreiecksungleichung: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) für alle x, y, z in X.

Der metrische Raum (X, d) ist eine Menge X zusammen mit einer Metrik d das die oben genannten Eigenschaften erfüllt. Der metrische Raum kann verwendet werden, um Konzepte wie Distanz, Nachbarschaften und Konvergenz zu definieren zwischen Punkten im Satz.