Ce este o metrică în matematică?

O metrică este o modalitate de a măsura ceva. În matematică, o metrică este o funcție care atribuie o distanță între două puncte dintr-o mulțime. Distanța este de obicei definită ca mărimea diferenței dintre cele două puncte.

De exemplu, luați în considerare linia numerelor reale, care este un set al tuturor numerelor reale. Putem defini o metrică pe această mulțime folosind valoarea absolută a diferenței dintre două numere reale. Aceasta înseamnă că distanța dintre două puncte x și y este dată de |x - y|.

În termeni mai tehnici, o metrică este o funcție d: X × X → R (unde X este mulțimea măsurată și R este mulțimea de numere reale) care satisface următoarele trei proprietăți:

1. Nenegativitate: d(x, y) ≥ 0 pentru tot x, y din X și d(x, y) = 0 dacă și numai dacă x = y.
2. Simetrie: d(x, y) = d(y, x) pentru toate x, y din X.
3. Inegalitate triunghiulară: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) pentru toate x, y, z din X.

Spațiul metric (X, d) este o mulțime X împreună cu o metrică d care satisface proprietățile de mai sus. Spațiul metric poate fi folosit pentru a defini concepte precum distanța, vecinătățile și convergența.

În rezumat, o metrică este o modalitate de a măsura distanțe între puncte dintr-o mulțime, iar un spațiu metric este o mulțime împreună cu o metrică care definește distanțele între punctele din set.