Apa itu Metrik dalam Matematika?

Metrik adalah cara mengukur sesuatu. Dalam matematika, metrik adalah fungsi yang menentukan jarak antara dua titik dalam suatu himpunan. Jarak biasanya didefinisikan sebagai besarnya selisih antara dua titik.

Sebagai contoh, perhatikan garis bilangan real, yang merupakan himpunan semua bilangan real. Kita dapat menentukan metrik pada himpunan ini dengan menggunakan nilai absolut selisih antara dua bilangan real. Artinya jarak antara dua titik x dan y diberikan oleh |x - y|.

Dalam istilah yang lebih teknis, metrik adalah fungsi d: X × X → R (di mana X adalah himpunan yang diukur dan R adalah himpunan bilangan real) yang memenuhi tiga sifat berikut:

1. Non-negatif: d(x, y) ≥ 0 untuk semua x, y di X dan d(x, y) = 0 jika dan hanya jika x = y.
2. Simetri: d(x, y) = d(y, x) untuk semua x, y di X.
3. Pertidaksamaan segitiga: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) untuk semua x, y, z dalam X.

Ruang metrik (X, d) adalah himpunan X bersama dengan metrik d yang memenuhi sifat-sifat di atas. Ruang metrik dapat digunakan untuk mendefinisikan konsep-konsep seperti jarak, lingkungan, dan konvergensi.

Singkatnya, metrik adalah cara mengukur jarak antar titik dalam suatu himpunan, dan ruang metrik adalah himpunan bersama dengan metrik yang mendefinisikan jarak antar titik dalam himpunan.