เมตริกในวิชาคณิตศาสตร์คืออะไร?

เมตริกเป็นวิธีหนึ่งในการวัดบางสิ่งบางอย่าง ในทางคณิตศาสตร์ เมตริกคือฟังก์ชันที่กำหนดระยะห่างระหว่างจุดสองจุดในชุดหนึ่ง โดยทั่วไประยะทางจะถูกกำหนดให้เป็นขนาดของความแตกต่างระหว่างจุดสองจุด ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาเส้นจำนวนจริงซึ่งเป็นเซตของจำนวนจริงทั้งหมด เราสามารถกำหนดหน่วยเมตริกในชุดนี้ได้โดยใช้ค่าสัมบูรณ์ของผลต่างระหว่างจำนวนจริงสองตัว ซึ่งหมายความว่าระยะห่างระหว่างจุดสองจุด x และ y กำหนดโดย |x - y|.

ในแง่ทางเทคนิค หน่วยเมตริกคือฟังก์ชัน d: X × X → R (โดยที่ X คือเซตที่กำลังวัด และ R คือเซต ของจำนวนจริง) ที่มีคุณสมบัติสามประการต่อไปนี้:

1. การไม่เป็นเชิงลบ: d(x, y) ≥ 0 สำหรับ x, y ทั้งหมดใน X และ d(x, y) = 0 ก็ต่อเมื่อ x = y.
2 สมมาตร: d(x, y) = d(y, x) สำหรับ x, y ทุกตัวใน X.
3 อสมการสามเหลี่ยม: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) สำหรับ x, y, z ทั้งหมดใน X.

ปริภูมิหน่วยเมตริก (X, d) คือเซต X ร่วมกับหน่วยเมตริก d ที่ตรงตามคุณสมบัติข้างต้น พื้นที่เมตริกสามารถใช้เพื่อกำหนดแนวคิด เช่น ระยะทาง ละแวกใกล้เคียง และการบรรจบกัน โดยสรุป เมตริกคือวิธีการวัดระยะทางระหว่างจุดต่างๆ ในชุด และปริภูมิเมตริกคือชุดร่วมกับเมตริกที่กำหนดระยะทาง ระหว่างจุดในชุด