Qu’est-ce qu’une métrique en mathématiques ?

Une métrique est une manière de mesurer quelque chose. En mathématiques, une métrique est une fonction qui attribue une distance entre deux points d'un ensemble. La distance est généralement définie comme l'ampleur de la différence entre les deux points.

Par exemple, considérons la droite des nombres réels, qui est un ensemble de tous les nombres réels. On peut définir une métrique sur cet ensemble en utilisant la valeur absolue de la différence entre deux nombres réels. Cela signifie que la distance entre deux points x et y est donnée par |x - y|.

En termes plus techniques, une métrique est une fonction d : X × X → R (où X est l'ensemble mesuré et R est l'ensemble de nombres réels) qui satisfait les trois propriétés suivantes :

1. Non-négativité : d(x, y) ≥ 0 pour tout x, y dans X et d(x, y) = 0 si et seulement si x = y.
2. Symétrie : d(x, y) = d(y, x) pour tout x, y dans X.
3. Inégalité triangulaire : d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) pour tout x, y, z dans X.

L'espace métrique (X, d) est un ensemble X avec une métrique d qui satisfait les propriétés ci-dessus. L'espace métrique peut être utilisé pour définir des concepts tels que la distance, les voisinages et la convergence.

En résumé, une métrique est un moyen de mesurer les distances entre les points d'un ensemble, et un espace métrique est un ensemble avec une métrique qui définit les distances. entre les points de l’ensemble.