Hvad er en metrik i matematik?

En metrik er en måde at måle noget på. I matematik er en metrik en funktion, der tildeler en afstand mellem to punkter i et s
t. Afstanden er normalt defineret som størrelsen af forskellen mellem de to punkter.

Betragt f.eks. den reelle tallinje, som er et s
t af alle reelle tal. Vi kan definere en metrik på dette s
t ved at bruge den absolutte v
rdi af forskellen mellem to reelle tal. Det betyder, at afstanden mellem to punkter x og y er givet ved |x - y|.

I mere tekniske termer er en metrik en funktion d: X × X → R (hvor X er m
ngden, der måles, og R er m
ngden af reelle tal), der opfylder følgende tre egenskaber:

1. Ikke-negativitet: d(x, y) ≥ 0 for alle x, y i X og d(x, y) = 0 hvis og kun hvis x = y.
2. Symmetri: d(x, y) = d(y, x) for alle x, y i X.
3. Trekantulighed: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) for alle x, y, z i X.

Det metriske rum (X, d) er en m
ngde X sammen med en metrisk d der opfylder ovenstående egenskaber. Det metriske rum kan bruges til at definere begreber som afstand, kvarterer og konvergens.

Sammenfattende er en metrik en måde at måle afstande mellem punkter i en m
ngde på, og et metrisk rum er en m
ngde sammen med en metrik, der definerer afstandene mellem punkter i s
ttet.