¿Qué es una métrica en matemáticas?

Una métrica es una forma de medir algo. En matemáticas, una métrica es una función que asigna una distancia entre dos puntos de un conjunto. La distancia generalmente se define como la magnitud de la diferencia entre los dos puntos. Por ejemplo, considere la recta de números reales, que es un conjunto de todos los números reales. Podemos definir una métrica en este conjunto usando el valor absoluto de la diferencia entre dos números reales. Esto significa que la distancia entre dos puntos xey está dada por |x - y|.

En términos más técnicos, una métrica es una función d: X × X → R (donde X es el conjunto que se está midiendo y R es el conjunto de números reales) que satisface las tres propiedades siguientes:

1. No negatividad: d(x, y) ≥ 0 para todo x, y en X y d(x, y) = 0 si y sólo si x = y.
2. Simetría: d(x, y) = d(y, x) para todo x, y en X.
3. Desigualdad triangular: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) para todo x, y, z en X.

El espacio métrico (X, d) es un conjunto X junto con una métrica d que satisface las propiedades anteriores. El espacio métrico se puede utilizar para definir conceptos como distancia, vecindades y convergencia. En resumen, una métrica es una forma de medir distancias entre puntos en un conjunto, y un espacio métrico es un conjunto junto con una métrica que define las distancias. entre puntos del conjunto.