Τι είναι η μέτρηση στα Μαθηματικά;

Η μέτρηση είναι ένας τρόπος μέτρησης κάτι. Στα μαθηματικά, μια μετρική είναι μια συνάρτηση που εκχωρεί μια απόσταση μεταξύ δύο σημείων ενός συνόλου. Η απόσταση συνήθως ορίζεται ως το μέγεθος της διαφοράς μεταξύ των δύο σημείων.

Για παράδειγμα, θεωρήστε την ευθεία των πραγματικών αριθμών, η οποία είναι ένα σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών. Μπορούμε να ορίσουμε μια μέτρηση σε αυτό το σύνολο χρησιμοποιώντας την απόλυτη τιμή της διαφοράς μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών. Αυτό σημαίνει ότι η απόσταση μεταξύ δύο σημείων x και y δίνεται από το |x - y|.

Σε πιο τεχνικούς όρους, μια μετρική είναι μια συνάρτηση d: X × X → R (όπου X είναι το σύνολο που μετράται και R είναι το σύνολο πραγματικών αριθμών) που ικανοποιεί τις ακόλουθες τρεις ιδιότητες:

1. Μη αρνητικότητα: d(x, y) ≥ 0 για όλα τα x, y στο X και d(x, y) = 0 αν και μόνο αν x = y.
2. Συμμετρία: d(x, y) = d(y, x) για όλα τα x, y στο X.
3. Ανισότητα τριγώνου: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) για όλα τα x, y, z στο X.

Ο μετρικός χώρος (X, d) είναι ένα σύνολο X μαζί με μια μετρική d που ικανοποιεί τις παραπάνω ιδιότητες. Ο μετρικός χώρος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να ορίσει έννοιες όπως απόσταση, γειτονιές και σύγκλιση.

Συνοπτικά, μια μετρική είναι ένας τρόπος μέτρησης των αποστάσεων μεταξύ σημείων σε ένα σύνολο και ένας μετρικός χώρος είναι ένα σύνολο μαζί με μια μετρική που ορίζει τις αποστάσεις μεταξύ των σημείων του σετ.