Co to jest metryka w matematyce?

Metryka to sposób pomiaru czegoś. W matematyce metryka to funkcja, która przypisuje odległość między dwoma punktami w zbiorze. Odległość jest zwykle definiowana jako wielkość różnicy między dwoma punktami.…
Rozważmy na przykład oś liczb rzeczywistych, która jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych. Możemy zdefiniować metrykę w tym zbiorze, używając wartości bezwzględnej różnicy między dwiema liczbami rzeczywistymi. Oznacza to, że odległość między dwoma punktami x i y wyraża się wzorem |x - y|.

W bardziej technicznym ujęciu metryka jest funkcją d: X × X → R (gdzie X jest mierzonym zbiorem, a R jest zbiorem liczb rzeczywistych), który spełnia trzy następujące własności:

1. Nieujemność: d(x, y) ≥ 0 dla wszystkich x, y w X i d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y.
2. Symetria: d(x, y) = d(y, x) dla wszystkich x, y w X.
3. Nierówność trójkąta: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) dla wszystkich x, y, z w X.

Przestrzeń metryczna (X, d) jest zbiorem X wraz z metryką d który spełnia powyższe właściwości. Przestrzeń metryczna może być używana do definiowania pojęć, takich jak odległość, sąsiedztwo i zbieżność.

Podsumowując, metryka to sposób pomiaru odległości między punktami w zbiorze, a przestrzeń metryczna to zbiór wraz z metryką, która definiuje odległości pomiędzy punktami w zestawie.