Qu'est-ce qu'une relation bisymétrique en mathématiques ?

En mathématiques, une relation binaire est dite bisymétrique si elle est à la fois réflexive et symétrique. En d'autres termes, une relation binaire ~ sur un ensemble X est bisymétrique si :

1. Pour tout x dans X, x ~ x (réflexivité).
2. Pour tout x, y dans X, si x ~ y alors y ~ x (symétrie).

En d'autres termes, une relation est bisymétrique si elle est à la fois « cohérente » et « juste ». La cohérence signifie que la relation est réflexive, c'est-à-dire que chaque élément est lié à lui-même. L'équité signifie que la relation est symétrique, ce qui signifie que si un élément est lié à un autre, alors le deuxième élément est également lié au premier.

Voici quelques exemples de relations bisymétriques :

1. Égalité : La relation d'égalité ~ sur l'ensemble des nombres réels est bisymétrique, car pour deux nombres réels quelconques x et y, si x = y, alors y = x.
2. Congruence modulo n : La relation de congruence modulo n ~ sur l'ensemble des entiers est bisymétrique, car pour deux entiers quelconques x et y, si x ≡ y (mod n), alors y ≡ x (mod n).
3. Similarité : La relation de similarité ~ sur l'ensemble des formes est bisymétrique, car pour deux formes quelconques x et y, si une forme est similaire à une autre, alors la deuxième forme est également similaire à la première.
4. Relation d'équivalence : La relation d'équivalence ~ sur l'ensemble de tous les ensembles est bisymétrique, car pour deux ensembles x et y, si un ensemble est équivalent à un autre, alors le deuxième ensemble est également équivalent au premier.

Notez que toutes les relations binaires sont bisymétriques. Par exemple, la relation inférieur ou égal à ~ sur l'ensemble des nombres réels n'est pas bisymétrique, car 2 < 3, mais 3 n'est pas inférieur ou égal à 2.