Vad är ett bisymmetriskt förhållande i matematik?

Inom matematiken kallas en binär relation bisymmetrisk om den är både reflexiv och symmetrisk. Med andra ord, en binär relation ~ på en mängd X är bisymmetrisk if:

1. För alla x i X, x ~ x (reflexivitet).
2. För alla x, y i X, om x ~ y då y ~ x (symmetri).

Med andra ord är en relation bisymmetrisk om den är både "konsekvent" och "rättvis". Konsistens betyder att relationen är reflexiv, vilket betyder att varje element är relaterat till sig självt. Rättvisa betyder att relationen är symmetrisk, vilket betyder att om ett element är relaterat till ett annat, så är det andra elementet också relaterat till det första.

Här är några exempel på bisymmetriska relationer:

1. Likhet: Likhetsrelationen ~ på mängden reella tal är bisymmetrisk, eftersom för två valfria reella tal x och y, om x = y, då y = x.
2. Kongruens modulo n: Kongruens modulo n-relationen ~ på mängden heltal är bisymmetrisk, eftersom för två heltal x och y, om x ≡ y (mod n), då y ≡ x (mod n).
3. Likhet: Likhetsrelationen ~ på uppsättningen former är bisymmetrisk, eftersom för två valfria former x och y, om en form liknar en annan, så liknar den andra formen också den första.
4. Ekvivalensrelation: Ekvivalensrelationen ~ på mängden av alla mängder är bisymmetrisk, eftersom för två uppsättningar x och y, om en mängd är ekvivalent med en annan, så är den andra mängden också ekvivalent med den första.

Observera att inte alla binära relationer är bisymmetriska. Till exempel är förhållandet mindre än eller lika med ~ på mängden reella tal inte bisymmetrisk, eftersom 2 < 3, men 3 är inte mindre än eller lika med 2.