Cos'è una relazione bisimmetrica in matematica?

In matematica, una relazione binaria è detta bisimmetrica se è sia riflessiva che simmetrica. In altre parole, una relazione binaria ~ su un insieme X è bisimmetrica se:

1. Per ogni x in X, x ~ x (riflessività).
2. Per ogni x, y in X, se x ~ y allora y ~ x (simmetria).

In altre parole, una relazione è bisimmetrica se è sia "coerente" che "giusta". Coerenza significa che la relazione è riflessiva, nel senso che ogni elemento è in relazione con se stesso. Equità significa che la relazione è simmetrica, ovvero se un elemento è correlato a un altro, anche il secondo elemento è correlato al primo.

Ecco alcuni esempi di relazioni bisimmetriche:

1. Uguaglianza: la relazione di uguaglianza ~ sull'insieme dei numeri reali è bisimmetrica, perché per due numeri reali qualsiasi x e y, se x = y, allora y = x.
2. Congruenza modulo n: La relazione di congruenza modulo n ~ sull'insieme degli interi è bisimmetrica, perché per due interi qualsiasi x e y, se x ≡ y (mod n), allora y ≡ x (mod n).
3. Somiglianza: la relazione di somiglianza ~ sull'insieme delle forme è bisimmetrica, perché per due forme qualsiasi xey, se una forma è simile a un'altra, allora anche la seconda forma è simile alla prima.
4. Relazione di equivalenza: la relazione di equivalenza ~ sull'insieme di tutti gli insiemi è bisimmetrica, perché per due insiemi xey, se un insieme è equivalente a un altro, anche il secondo insieme è equivalente al primo.

Notare che non tutte le relazioni binarie sono bisimmetrici. Ad esempio, la relazione minore o uguale a ~ sull'insieme dei numeri reali non è bisimmetrica, perché 2 < 3, ma 3 non è minore o uguale a 2.