गणित में द्विसममितीय संबंध क्या है?
गणित में, एक द्विआधारी संबंध को द्विसममितीय कहा जाता है यदि यह प्रतिवर्ती और सममित दोनों है। दूसरे शब्दों में, समुच्चय X पर एक द्विआधारी संबंध ~ द्विसममितीय है यदि:
1। एक्स में सभी एक्स के लिए, एक्स ~ एक्स (रिफ्लेक्सिविटी).
2। सभी x के लिए, X में y, यदि x ~ y है तो y ~ x (समरूपता)। संगति का अर्थ है कि संबंध प्रतिवर्ती है, अर्थात प्रत्येक तत्व स्वयं से संबंधित है। निष्पक्षता का अर्थ है कि संबंध सममित है, जिसका अर्थ है कि यदि एक तत्व दूसरे से संबंधित है, तो दूसरा तत्व भी पहले से संबंधित है।
यहां द्विसममितीय संबंधों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:
1. समानता: वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर समानता संबंध ~ द्विसममित है, क्योंकि किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं x और y के लिए, यदि x = y, तो y = x.
2। सर्वांगसमता मापांक n: पूर्णांकों के समुच्चय पर सर्वांगसमता मापांक n संबंध ~ द्विसममितीय है, क्योंकि किन्हीं दो पूर्णांकों x और y के लिए, यदि x ≡ y (mod n), तो y ≡ x (mod n).
3. समानता: आकृतियों के समूह पर समानता संबंध ~ द्विसममित है, क्योंकि किन्हीं दो आकृतियों x और y के लिए, यदि एक आकृति दूसरी आकृति के समान है, तो दूसरी आकृति भी पहली के समान होती है।
4। समतुल्य संबंध: सभी समुच्चयों के समुच्चय पर समतुल्य संबंध ~ द्विसममितीय है, क्योंकि किन्हीं दो समुच्चयों x और y के लिए, यदि एक समुच्चय दूसरे समुच्चय के समतुल्य है, तो दूसरा समुच्चय भी पहले के समतुल्य है।
ध्यान दें कि सभी द्विआधारी संबंध नहीं द्विसममितीय हैं. उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर संबंध ~ से कम या उसके बराबर द्विसममितीय नहीं है, क्योंकि 2 < 3, लेकिन 3, 2 से कम या उसके बराबर नहीं है।
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