Matematikte Bisimetrik İlişki Nedir?

Matematikte ikili bir ilişki, hem dönüşlü hem de simetrik ise bisimetrik olarak adlandırılır. Başka bir deyişle, bir X kümesi üzerindeki ~ ikili ilişkisi şu durumda bisimetriktir:

1. X'teki tüm x'ler için, x ~ x (yansıma).
2. X'teki tüm x, y için, eğer x ~ y ise o zaman y ~ x (simetri).

Başka bir deyişle, bir ilişki hem "tutarlı" hem de "adil" ise bisimetriktir. Tutarlılık, ilişkinin dönüşlü olduğu, yani her unsurun kendisiyle ilişkili olduğu anlamına gelir. Adillik, ilişkinin simetrik olduğu anlamına gelir, yani bir öğe diğeriyle ilişkiliyse ikinci öğe de birinciyle ilişkilidir.

İşte bisimetrik ilişkilerin bazı örnekleri:

1. Eşitlik: Gerçek sayılar kümesindeki eşitlik ilişkisi ~ bisimetriktir, çünkü herhangi iki gerçek sayı için x ve y, eğer x = y ise y = x.
2. Eşlik modulo n: Tamsayılar kümesindeki eşlik modulo n ilişkisi ~ bisimetriktir, çünkü herhangi iki tamsayı x ve y için, eğer x ≡ y (mod n), bu durumda y ≡ x (mod n).
3. Benzerlik: Şekiller kümesindeki benzerlik ilişkisi ~ bisimetriktir, çünkü herhangi iki x ve y şekli için, eğer bir şekil diğerine benzerse, o zaman ikinci şekil de birinciye benzer.
4. Eşdeğerlik ilişkisi: Tüm kümeler kümesindeki ~ eşdeğerlik ilişkisi bisimetriktir, çünkü herhangi iki x ve y kümesi için, eğer bir küme diğerine eşdeğerse, o zaman ikinci küme de birinciye eşdeğerdir.

Tüm ikili ilişkilerin olmadığını unutmayın. bisimetriktir. Örneğin, gerçel sayılar kümesindeki ~'den küçük veya ona eşit bağıntısı bisimetrik değildir çünkü 2 < 3, ancak 3, 2'den küçük veya ona eşit değildir.