Что такое бисимметричное соотношение в математике?

В математике бинарное отношение называется бисимметричным, если оно одновременно рефлексивно и симметрично. Другими словами, бинарное отношение ~ на множестве X является бисимметричным, если:

1. Для всех x в X x ~ x (рефлексивность).
2. Для всех x, y в X, если x ~ y, то y ~ x (симметрия). Другими словами, отношение является бисимметричным, если оно одновременно «непротиворечиво» и «справедливо». Последовательность означает, что отношение рефлексивно, то есть каждый элемент связан сам с собой. Справедливость означает, что отношение симметрично, а это означает, что если один элемент связан с другим, то второй элемент также связан с первым.

Вот несколько примеров бисимметричных отношений:

1. Равенство: Отношение равенства ~ на множестве действительных чисел является бисимметричным, поскольку для любых двух действительных чисел x и y, если x = y, то y = x.
2. Сравнение по модулю n: Отношение сравнения по модулю n ~ на множестве целых чисел является бисимметричным, потому что для любых двух целых чисел x и y, если x ≡ y (mod n), то y ≡ x (mod n).
3. Сходство: Отношение подобия ~ на множестве фигур бисимметрично, потому что для любых двух фигур x и y, если одна фигура похожа на другую, то вторая фигура также похожа на первую.
4. Отношение эквивалентности: Отношение эквивалентности ~ на множестве всех множеств является бисимметричным, поскольку для любых двух наборов x и y, если один набор эквивалентен другому, то второй набор также эквивалентен первому. Обратите внимание, что не все бинарные отношения являются бисимметричными. Например, отношение меньше или равно ~ на множестве действительных чисел не является бисимметричным, поскольку 2 <3, но 3 не меньше или равно 2.