Mit jelent a biszimmetrikus reláció a matematikában?

A matematikában egy bináris relációt biszimmetrikusnak nevezünk, ha reflexív és szimmetrikus is. Más szóval, egy bináris ~ reláció egy X halmazon biszimmetrikus, ha:

1. Minden x-ben x ~ x (reflexivitás).
2. Minden x, y esetén X-ben, ha x ~ y, akkor y ~ x (szimmetria).

Más szóval, egy reláció biszimmetrikus, ha „konzisztens” és „igazságos”. A konzisztencia azt jelenti, hogy a reláció reflexív, vagyis minden elem önmagához kapcsolódik. A méltányosság azt jelenti, hogy a reláció szimmetrikus, ami azt jelenti, hogy ha az egyik elem kapcsolatban áll a másikkal, akkor a második elem is kapcsolódik az elsőhöz.

Íme néhány példa a biszimmetrikus kapcsolatokra:

1. Egyenlőség: A valós számok halmazán a ~ egyenlőségi reláció biszimmetrikus, mert bármely két x és y valós számra, ha x = y, akkor y = x.
2. Kongruencia modulo n: A ~ kongruencia modulo n reláció az egész számok halmazán biszimmetrikus, mert bármely két x és y egészre, ha x ≡ y (mod n), akkor y ≡ x (mod n).
3. Hasonlóság: A ~ hasonlósági reláció az alakzatok halmazán biszimmetrikus, mert bármely két x és y alakzat esetén, ha az egyik alak hasonló a másikhoz, akkor a második alakzat is hasonló az elsőhöz.
4. Ekvivalencia reláció: Az összes halmaz halmazán az ~ ekvivalencia reláció biszimmetrikus, mert bármely két x és y halmaz esetén, ha az egyik halmaz ekvivalens a másikkal, akkor a második halmaz is ekvivalens az elsővel.

Megjegyezzük, hogy nem minden bináris reláció biszimmetrikusak. Például a valós számok halmazán a kisebb vagy egyenlő ~ reláció nem biszimmetrikus, mert 2 < 3, de 3 nem kisebb vagy egyenlő 2-vel.