Wat is een bisymmetrische relatie in de wiskunde?

In de wiskunde wordt een binaire relatie bisymmetrisch genoemd als deze zowel reflexief als symmetrisch is. Met andere woorden, een binaire relatie ~ op een verzameling X is bisymmetrisch als:

1. Voor alle x in X, x ~ x (reflexiviteit).
2. Voor alle x, y in X, als x ~ y dan y ~ x (symmetrie). Met andere woorden: een relatie is bisymmetrisch als deze zowel "consistent" als "redelijk" is. Consistentie betekent dat de relatie reflexief is, wat betekent dat elk element aan zichzelf gerelateerd is. Eerlijkheid betekent dat de relatie symmetrisch is, wat betekent dat als het ene element gerelateerd is aan het andere, het tweede element ook gerelateerd is aan het eerste.

Hier zijn enkele voorbeelden van bisymmetrische relaties:

1. Gelijkheid: De gelijkheidsrelatie ~ op de verzameling reële getallen is bisymmetrisch, omdat voor twee reële getallen x en y, als x = y, dan y = x.
2. Congruentie modulo n: De congruentie modulo n-relatie ~ op de verzameling gehele getallen is bisymmetrisch, omdat voor twee gehele getallen x en y, als x ≡ y (mod n), dan y ≡ x (mod n).
3. Gelijkenis: De gelijkenisrelatie ~ op de reeks vormen is bisymmetrisch, omdat voor elke twee vormen x en y, als de ene vorm vergelijkbaar is met de andere, de tweede vorm ook vergelijkbaar is met de eerste.
4. Equivalentierelatie: De equivalentierelatie ~ op de verzameling van alle verzamelingen is bisymmetrisch, omdat voor twee verzamelingen x en y, als de ene verzameling gelijkwaardig is aan de andere, de tweede verzameling ook gelijkwaardig is aan de eerste. Merk op dat niet alle binaire relaties zijn bisymmetrisch. De relatie kleiner dan of gelijk aan ~ op de verzameling reële getallen is bijvoorbeeld niet bisymmetrisch, omdat 2 < 3, maar 3 niet kleiner dan of gelijk aan 2 is.