Ce este o relație bisimetrică în matematică?

În matematică, o relație binară se numește bisimetrică dacă este atât reflexivă, cât și simetrică. Cu alte cuvinte, o relație binară ~ pe o mulțime X este bisimetrică dacă:

1. Pentru toate x din X, x ~ x (reflexivitate).
2. Pentru toate x, y în X, dacă x ~ y atunci y ~ x (simetrie).

Cu alte cuvinte, o relație este bisimetrică dacă este atât „consecventă” cât și „corectă”. Consecvența înseamnă că relația este reflexivă, adică fiecare element este legat de el însuși. Corectitudine înseamnă că relația este simetrică, ceea ce înseamnă că, dacă un element este legat de altul, atunci al doilea element este și el legat de primul.

Iată câteva exemple de relații bisimetrice:

1. Egalitatea: Relația de egalitate ~ pe mulțimea numerelor reale este bisimetrică, deoarece pentru oricare două numere reale x și y, dacă x = y, atunci y = x.
2. Congruență modulo n: Relația de congruență modulo n ~ pe mulțimea numerelor întregi este bisimetrică, deoarece pentru oricare două numere întregi x și y, dacă x ≡ y (mod n), atunci y ≡ x (mod n).
3. Similaritate: Relația de asemănare ~ pe setul de forme este bisimetrică, deoarece pentru oricare două forme x și y, dacă o formă este similară cu alta, atunci și a doua formă este similară cu prima.
4. Relația de echivalență: Relația de echivalență ~ pe mulțimea tuturor mulțimilor este bisimetrică, deoarece pentru oricare două mulțimi x și y, dacă o mulțime este echivalentă cu alta, atunci a doua mulțime este, de asemenea, echivalentă cu prima.

Rețineți că nu toate relațiile binare sunt bisimetrice. De exemplu, relația mai mică sau egală cu ~ din mulțimea numerelor reale nu este bisimetrică, deoarece 2 < 3, dar 3 nu este mai mic sau egal cu 2.