Was ist eine bisymmetrische Beziehung in der Mathematik?

In der Mathematik nennt man eine binäre Relation bisymmetrisch, wenn sie sowohl reflexiv als auch symmetrisch ist. Mit anderen Worten, eine binäre Beziehung ~ auf einer Menge X ist bisymmetrisch, wenn:

1. Für alle x in X gilt x ~ x (Reflexivität).
2. Für alle x, y in X gilt: Wenn x ~ y, dann y ~ x (Symmetrie). Konsistenz bedeutet, dass die Beziehung reflexiv ist, das hei+t, dass jedes Element auf sich selbst bezogen ist. Fairness bedeutet, dass die Beziehung symmetrisch ist, was bedeutet, dass, wenn ein Element mit einem anderen in Beziehung steht, das zweite Element auch mit dem ersten in Beziehung steht.

Hier sind einige Beispiele für bisymmetrische Beziehungen:

1. Gleichheit: Die Gleichheitsrelation ~ auf der Menge der reellen Zahlen ist bisymmetrisch, denn für zwei beliebige reelle Zahlen x und y gilt, wenn x = y, dann y = x.
2. Kongruenzmodulo n: Die Kongruenzmodulo n-Relation ~ auf der Menge der ganzen Zahlen ist bisymmetrisch, denn für zwei beliebige ganze Zahlen x und y gilt: Wenn x ≡ y (mod n), dann ist y ≡ x (mod n).
3. Ähnlichkeit: Die Ähnlichkeitsbeziehung ~ auf der Menge der Formen ist bisymmetrisch, denn wenn für zwei beliebige Formen x und y eine Form einer anderen ähnlich ist, dann ist auch die zweite Form der ersten ähnlich.
4. Äquivalenzbeziehung: Die Äquivalenzbeziehung ~ auf der Menge aller Mengen ist bisymmetrisch, denn wenn für zwei beliebige Mengen x und y eine Menge einer anderen äquivalent ist, dann ist die zweite Menge auch äquivalent zur ersten.

Beachten Sie, dass nicht alle binären Beziehungen sind bisymmetrisch. Beispielsweise ist die Kleiner-gleich-Relation ~ auf der Menge der reellen Zahlen nicht bisymmetrisch, da 2 < 3, aber 3 nicht kleiner oder gleich 2 ist.