Що таке бісиметричне відношення в математиці?

У математиці бінарне відношення називається бісиметричним, якщо воно одночасно є рефлексивним і симетричним. Іншими словами, бінарне відношення ~ на множині X є бісиметричним, якщо:

1. Для всіх x в X, x ~ x (рефлексивність).
2. Для всіх x, y в X, якщо x ~ y, то y ~ x (симетрія).

Іншими словами, відношення є бісиметричним, якщо воно одночасно «послідовне» і «справедливе». Послідовність означає, що відношення є рефлексивним, тобто кожен елемент пов’язаний сам із собою. Справедливість означає, що відношення є симетричним, тобто якщо один елемент пов’язаний з іншим, то другий елемент також пов’язаний з першим.

Ось кілька прикладів бісиметричних відношень:

1. Рівність: відношення рівності ~ на множині дійсних чисел є бісиметричним, оскільки для будь-яких двох дійсних чисел x і y, якщо x = y, то y = x.
2. Конгруенція за модулем n: Відношення конгруенції за модулем n ~ на множині цілих чисел є бісиметричним, оскільки для будь-яких двох цілих чисел x і y, якщо x ≡ y (mod n), то y ≡ x (mod n).
3. Подібність: відношення подібності ~ на множині фігур є бісиметричним, оскільки для будь-яких двох фігур x і y, якщо одна фігура подібна до іншої, то друга фігура також подібна до першої.
4. Відношення еквівалентності: відношення еквівалентності ~ на множині всіх множин є бісиметричним, оскільки для будь-яких двох множин x і y, якщо одна множина еквівалентна іншій, то друга множина також еквівалентна першій.

Зауважте, що не всі бінарні відношення є бісиметричними. Наприклад, відношення менше або дорівнює ~ на множині дійсних чисел не є бісиметричним, оскільки 2 < 3, але 3 не є меншим або дорівнює 2.