数学における二対称関係とは何ですか?

数学では、二項関係が再帰的かつ対称的である場合、その関係は二対称と呼ばれます。言い換えれば、集合 X 上の二項関係 ~ は、次の場合には両対称です。 X 内のすべての x について、x ~ x (反射性)。
2。 X 内のすべての x、y について、x ~ y であれば y ~ x (対称性) です。

言い換えると、関係が「一貫性」と「公平」の両方である場合、その関係は両対称です。一貫性とは、関係が再帰的であること、つまりすべての要素がそれ自体に関連していることを意味します。公平性とは、関係が対称であることを意味します。つまり、ある要素が別の要素に関連している場合、2 番目の要素も最初の要素に関連していることを意味します。ここでは、双対称関係の例をいくつか示します。等価性: 実数のセット上の等価関係 ~ は、任意の 2 つの実数 x および y について、x = y の場合、y = x.
2 であるため、両対称です。 n を法とする合同: 任意の 2 つの整数 x および y について、x ≡ y (mod n) の場合、y ≡ x (mod n) であるため、整数のセット上の合同法 n 関係 ~ は両対称です。類似性: 一連の形状の類似関係 ~ は両対称です。これは、任意の 2 つの形状 x および y について、1 つの形状が別の形状に類似している場合、2 番目の形状も最初の形状に類似しているためです。同値関係: すべての集合の集合における同値関係 ~ は両対称です。任意の 2 つの集合 x および y について、1 つの集合が別の集合と同等であれば、2 番目の集合も最初の集合と同等であるからです。

すべての二項関係ではないことに注意してください。は左右対称です。たとえば、実数セットの「以下」関係 ~ は、2 < 3 であるため両対称ではありませんが、3 は 2 以下ではありません。