Một mối quan hệ lưỡng đối xứng trong toán học là gì?

Trong toán học, một hệ nhị phân được gọi là lưỡng đối xứng nếu nó vừa phản xạ vừa đối xứng. Nói cách khác, một quan hệ nhị phân ~ trên tập X là lưỡng đối xứng nếu:

1. Với mọi x thuộc X, x ~ x (tính phản xạ).
2. Với mọi x, y trong X, nếu x ~ y thì y ~ x (đối xứng).

Nói cách khác, một quan hệ là lưỡng đối xứng nếu nó vừa "nhất quán" vừa "công bằng". Tính nhất quán có nghĩa là mối quan hệ có tính phản xạ, nghĩa là mọi phần tử đều liên quan đến chính nó. Tính công bằng có nghĩa là mối quan hệ có tính đối xứng, nghĩa là nếu một phần tử có liên quan với phần tử khác thì phần tử thứ hai cũng liên quan đến phần tử thứ nhất.

Dưới đây là một số ví dụ về quan hệ lưỡng đối xứng:

1. Đẳng thức: Quan hệ đẳng thức ~ trên tập hợp số thực là lưỡng đối xứng, vì với hai số thực x và y bất kỳ, nếu x = y thì y = x.
2. Sự đồng dư modulo n: Mối quan hệ đồng dư modulo n ~ trên tập hợp các số nguyên là lưỡng đối xứng, bởi vì với hai số nguyên x và y bất kỳ, nếu x ≡ y (mod n), thì y ≡ x (mod n).
3. Độ tương tự: Mối quan hệ tương tự ~ trên tập hợp các hình là lưỡng đối xứng, bởi vì với hai hình x và y bất kỳ, nếu một hình giống với hình kia thì hình thứ hai cũng giống với hình thứ nhất.
4. Quan hệ tương đương: Quan hệ tương đương ~ trên tập hợp tất cả các tập hợp là lưỡng đối xứng, bởi vì với hai tập hợp x và y bất kỳ, nếu một tập hợp tương đương với tập hợp khác thì tập hợp thứ hai cũng tương đương với tập hợp thứ nhất.

Lưu ý rằng không phải tất cả các quan hệ nhị phân là lưỡng đối xứng. Ví dụ, quan hệ nhỏ hơn hoặc bằng ~ trên tập hợp số thực không phải là lưỡng đối xứng, vì 2 < 3 nhưng 3 không nhỏ hơn hoặc bằng 2.