Mikä on bisymmetrinen relaatio matematiikassa?

Matematiikassa binäärirelaatiota kutsutaan bisymmetriseksi, jos se on sekä refleksiivinen että symmetrinen. Toisin sanoen binäärirelaatio ~ joukossa X on bisymmetrinen, jos:

1. Kaikille x:lle X:ssä x ~ x (heijastuskyky).
2. Kaikille x:ille, y X:ssä, jos x ~ y niin y ~ x (symmetria).

Toisin sanoen relaatio on bisymmetrinen, jos se on sekä "yhtenäinen" että "reilu". Johdonmukaisuus tarkoittaa, että suhde on refleksiivinen, mikä tarkoittaa, että jokainen elementti liittyy itseensä. Reiluus tarkoittaa, että relaatio on symmetrinen, eli jos yksi elementti liittyy toiseen, niin toinen elementti liittyy myös ensimmäiseen.

Tässä on esimerkkejä bisymmetrisistä suhteista:

1. Tasa-arvo: Reaalilukujoukon tasa-arvosuhde ~ on bisymmetrinen, koska kahdelle reaaliluvulle x ja y, jos x = y, niin y = x.
2. Kongruenssimoduuli n: Kongruenssimoduulin suhde ~ kokonaislukujoukolla on bisymmetrinen, koska kahdelle kokonaisluvulle x ja y, jos x ≡ y (mod n), niin y ≡ x (mod n).
3. Samankaltaisuus: Muotojoukon samankaltaisuussuhde ~ on bisymmetrinen, koska kahdelle muodolle x ja y, jos yksi muoto on samanlainen kuin toinen, niin toinen muoto on myös samanlainen kuin ensimmäinen.
4. Ekvivalenssisuhde: Kaikkien joukkojen joukon ekvivalenssirelaatio ~ on bisymmetrinen, koska kahdelle joukolle x ja y, jos yksi joukko on ekvivalentti toiselle, myös toinen joukko vastaa ensimmäistä.

Huomaa, että kaikki binäärirelaatiot eivät ole ovat bisymmetrisiä. Esimerkiksi reaalilukujoukon relaatio ~ pienempi tai yhtä suuri ei ole bisymmetrinen, koska 2 < 3, mutta 3 ei ole pienempi tai yhtä suuri kuin 2.