Τι είναι η δισυμμετρική σχέση στα Μαθηματικά;

Στα μαθηματικά, μια δυαδική σχέση ονομάζεται δισυμμετρική εάν είναι και αντανακλαστική και συμμετρική. Με άλλα λόγια, μια δυαδική σχέση ~ σε ένα σύνολο X είναι δισυμμετρική εάν:

1. Για όλα τα x στο X, x ~ x (ανακλαστικότητα).
2. Για όλα τα x, y στο X, αν x ~ y τότε y ~ x (συμμετρία).

Με άλλα λόγια, μια σχέση είναι δισυμμετρική εάν είναι και «συνεπής» και «δίκαιη». Συνέπεια σημαίνει ότι η σχέση είναι αντανακλαστική, που σημαίνει ότι κάθε στοιχείο σχετίζεται με τον εαυτό του. Δικαιοσύνη σημαίνει ότι η σχέση είναι συμμετρική, που σημαίνει ότι εάν ένα στοιχείο σχετίζεται με ένα άλλο, τότε το δεύτερο στοιχείο σχετίζεται επίσης με το πρώτο.

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα δισυμμετρικών σχέσεων:

1. Ισότητα: Η σχέση ισότητας ~ στο σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι δισυμμετρική, γιατί για οποιουσδήποτε δύο πραγματικούς αριθμούς x και y, αν x = y, τότε y = x.
2. Modulo n σύμπτωσης: Η σχέση modulo n σύμπτωσης ~ στο σύνολο των ακεραίων είναι δισυμμετρική, γιατί για οποιουσδήποτε δύο ακέραιους x και y, αν x ≡ y (mod n), τότε y ≡ x (mod n).
3. Ομοιότητα: Η σχέση ομοιότητας ~ στο σύνολο των σχημάτων είναι δισυμμετρική, γιατί για οποιαδήποτε δύο σχήματα x και y, αν ένα σχήμα είναι παρόμοιο με ένα άλλο, τότε και το δεύτερο σχήμα είναι παρόμοιο με το πρώτο.
4. Σχέση ισοδυναμίας: Η σχέση ισοδυναμίας ~ στο σύνολο όλων των συνόλων είναι δισυμμετρική, γιατί για οποιαδήποτε δύο σύνολα x και y, εάν ένα σύνολο είναι ισοδύναμο με ένα άλλο, τότε το δεύτερο σύνολο είναι επίσης ισοδύναμο με το πρώτο.

Σημειώστε ότι δεν είναι όλες οι δυαδικές σχέσεις είναι δισυμμετρικά. Για παράδειγμα, η σχέση μικρότερη ή ίση με ~ στο σύνολο των πραγματικών αριθμών δεν είναι δισυμμετρική, επειδή το 2 < 3, αλλά το 3 δεν είναι μικρότερο ή ίσο με 2.