O que é uma relação bisimétrica em matemática?

Em matemática, uma relação binária é chamada bissimétrica se for reflexiva e simétrica. Em outras palavras, uma relação binária ~ em um conjunto X é bisimétrica se:

1. Para todo x em X, x ~ x (reflexividade).
2. Para todo x, y em X, se x ~ y então y ~ x (simetria).

Em outras palavras, uma relação é bisimétrica se for "consistente" e "justa". Consistência significa que a relação é reflexiva, o que significa que cada elemento está relacionado consigo mesmo. Justiça significa que a relação é simétrica, o que significa que se um elemento está relacionado a outro, então o segundo elemento também está relacionado ao primeiro.

Aqui estão alguns exemplos de relações bisimétricas:

1. Igualdade: A relação de igualdade ~ no conjunto de números reais é bisimétrica, porque para quaisquer dois números reais x e y, se x = y, então y = x.
2. Módulo de congruência n: A relação do módulo de congruência n ~ no conjunto de inteiros é bisimétrica, porque para quaisquer dois inteiros x e y, se x ≡ y (mod n), então y ≡ x (mod n).
3. Similaridade: A relação de similaridade ~ no conjunto de formas é bisimétrica, porque para quaisquer duas formas x e y, se uma forma for semelhante a outra, então a segunda forma também será semelhante à primeira.
4. Relação de equivalência: A relação de equivalência ~ no conjunto de todos os conjuntos é bissimétrica, porque para quaisquer dois conjuntos x e y, se um conjunto é equivalente a outro, então o segundo conjunto também é equivalente ao primeiro.

Observe que nem todas as relações binárias são bisimétricos. Por exemplo, a relação menor ou igual a ~ no conjunto dos números reais não é bisimétrica, porque 2 <3, mas 3 não é menor ou igual a 2.