Co je superformidabilita v matematice?

Superformidable je termín, který zpopularizoval matematik a polyhistor John Horton Conway. Je to hravý způsob odkazování na určitý typ matematického objektu, který je zobecněním formálního systému.……V matematice je formální systém soubor pravidel pro konstrukci a manipulaci s matematickými výrazy. Formální systém může například zahrnovat sadu axiomů (výroky, u kterých se předpokládá, že jsou pravdivé bez důkazu), sadu inferenčních pravidel (která nám umožňují odvozovat nové výroky z daných výroků) a sadu symbolů (např. 0, 1 a +), které můžeme použít k sestavení výrazů.

Superformidní je formální systém, který má tu vlastnost, že každý výrok, který lze v rámci systému učinit, může být dokázán buď jako pravdivý, nebo nepravdivý pouze pomocí pravidel systému. Jinými slovy, nelze-li tvrzení pomocí pravidel systému prokázat, že je pravdivé nebo nepravdivé, pak není superformidovatelné.……Superformidabilita je silná podmínka, kterou ne všechny formální systémy splňují. Například standardní aritmetický systém (který zahrnuje přirozená čísla a obvyklé operace sčítání a násobení) není superformidní, protože existují tvrzení o přirozených číslech, která nelze dokázat ani jako pravdivá, ani nepravdivá pouze pomocí pravidel systému. …John Horton Conway se zajímal o superformidabilita, protože věřil, že by mohla poskytnout způsob, jak porozumět podstatě samotné matematiky. Myslel si, že kdybychom našli superimpozantní formální systém, mohli bychom ho použít k prokázání souladu všech matematických pravd, a tím získat hlubší porozumění základům matematiky. Přes velké úsilí se však dosud nikomu nepodařilo najít superimpozantní formální systém, který by byl dostatečně silný, aby dokázal všechny matematické pravdy.