गणित में सुपरफोर्मिडेबिलिटी क्या है?
सुपरफोर्मिडेबल एक शब्द है जिसे गणितज्ञ और बहुज्ञ जॉन हॉर्टन कॉनवे द्वारा लोकप्रिय बनाया गया था। यह एक निश्चित प्रकार की गणितीय वस्तु को संदर्भित करने का एक चंचल तरीका है, जो एक औपचारिक प्रणाली का सामान्यीकरण है। गणित में, एक औपचारिक प्रणाली गणितीय अभिव्यक्तियों के निर्माण और हेरफेर के लिए नियमों का एक समूह है। उदाहरण के लिए, एक औपचारिक प्रणाली में स्वयंसिद्धों का एक सेट (ऐसे प्रस्ताव जो बिना प्रमाण के सत्य माने जाते हैं), अनुमान नियमों का एक सेट (जो हमें दिए गए प्रस्तावों से नए प्रस्ताव प्राप्त करने की अनुमति देते हैं), और प्रतीकों का एक सेट (जैसे कि) शामिल हो सकते हैं। 0, 1, और +) जिनका उपयोग हम अभिव्यक्ति बनाने के लिए कर सकते हैं।
एक सुपरफॉर्मिडेबल एक औपचारिक प्रणाली है जिसमें यह गुण होता है कि सिस्टम के भीतर दिए गए प्रत्येक कथन को केवल सिस्टम के नियमों का उपयोग करके सही या गलत साबित किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, यदि किसी कथन को सिस्टम के नियमों का उपयोग करके सही या गलत साबित नहीं किया जा सकता है, तो यह सुपरफॉर्मिडेबिलिटी नहीं है।
सुपरफॉर्मिडेबिलिटी एक मजबूत स्थिति है जिसे सभी औपचारिक सिस्टम संतुष्ट नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए, अंकगणित की मानक प्रणाली (जिसमें प्राकृतिक संख्याएं और जोड़ और गुणन की सामान्य संक्रियाएं शामिल हैं) अत्यधिक दुर्जेय नहीं है, क्योंकि प्राकृतिक संख्याओं के बारे में ऐसे कथन हैं जिन्हें केवल प्रणाली के नियमों का उपयोग करके सही या गलत साबित नहीं किया जा सकता है। .
जॉन हॉर्टन कॉनवे को सुपरफॉर्मिडेबिलिटी में दिलचस्पी थी क्योंकि उनका मानना था कि यह गणित की प्रकृति को समझने का एक तरीका प्रदान कर सकता है। उन्होंने सोचा कि यदि हमें एक अति-दुर्जेय औपचारिक प्रणाली मिल जाए, तो हम इसका उपयोग सभी गणितीय सत्यों की स्थिरता को साबित करने में सक्षम कर सकते हैं, और इस तरह गणित की नींव की गहरी समझ प्राप्त कर सकते हैं। हालाँकि, बहुत प्रयास के बावजूद, कोई भी अभी तक एक ऐसी अति दुर्जेय औपचारिक प्रणाली नहीं खोज पाया है जो सभी गणितीय सत्यों को सिद्ध करने के लिए पर्याप्त शक्तिशाली हो।
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