Hvad er superformidabilitet i matematik?

Superformidable er et udtryk, der blev popul
rt af matematikeren og polymaten John Horton Conway. Det er en legende måde at henvise til en bestemt type matematiske objekter, som er en generalisering af et formelt system.

I matematik er et formelt system et s
t regler for at konstruere og manipulere matematiske udtryk. For eksempel kan et formelt system omfatte et s
t aksiomer (udsagn, der antages at v
re sande uden bevis), et s
t slutningsregler (som giver os mulighed for at udlede nye påstande fra givne) og et s
t symboler (som f.eks. 0, 1 og +), som vi kan bruge til at bygge udtryk.

En superformidabel er et formelt system, der har den egenskab, at alle udsagn, der kan frems
ttes inden for systemet, kan bevises enten sande eller falske ved kun at bruge systemets regler. Med andre ord, hvis et udsagn ikke kan bevises hverken sandt eller falsk ved hj
lp af systemets regler, så er det ikke superformidabelt.

Superformidabilitet er en st
rk betingelse, som ikke alle formelle systemer opfylder. For eksempel er standardsystemet for aritmetik (som inkluderer de naturlige tal og de s
dvanlige operationer med addition og multiplikation) ikke superformidabelt, fordi der er udsagn om de naturlige tal, som ikke kan bevises, hverken sande eller falske ved kun at bruge systemets regler .

John Horton Conway var interesseret i superformidabilitet, fordi han mente, at det kunne give en måde at forstå selve matematikkens natur. Han mente, at hvis vi kunne finde et superformidabelt formelt system, ville vi måske kunne bruge det til at bevise sammenh
ngen i alle matematiske sandheder og derved få en dybere forståelse af matematikkens grundlag. Men på trods af mange anstrengelser har ingen endnu v
ret i stand til at finde et superformidabelt formelt system, der er kraftfuldt nok til at bevise alle matematiske sandheder.