Qu’est-ce que la superformidabilité en mathématiques ?

Superformidable est un terme popularisé par le mathématicien et mathématicien John Horton Conway. C'est une manière ludique de faire référence à un certain type d'objet mathématique, qui est une généralisation d'un système formel.

En mathématiques, un système formel est un ensemble de règles permettant de construire et de manipuler des expressions mathématiques. Par exemple, un système formel peut inclure un ensemble d'axiomes (propositions supposées vraies sans preuve), un ensemble de règles d'inférence (qui nous permettent de dériver de nouvelles propositions à partir de propositions données) et un ensemble de symboles (tels que 0, 1 et +) que nous pouvons utiliser pour construire des expressions.

Un superformidable est un système formel qui a la propriété que chaque déclaration qui peut être faite dans le système peut être prouvée vraie ou fausse en utilisant uniquement les règles du système. En d'autres termes, si une affirmation ne peut être prouvée ni vraie ni fausse en utilisant les règles du système, alors elle n'est pas superformidable.

La superformidabilité est une condition forte à laquelle tous les systèmes formels ne satisfont pas. Par exemple, le système arithmétique standard (qui comprend les nombres naturels et les opérations habituelles d'addition et de multiplication) n'est pas superformidable, car il existe des déclarations sur les nombres naturels qui ne peuvent être prouvées ni vraies ni fausses en utilisant uniquement les règles du système. .

John Horton Conway s'intéressait à la superformidabilité parce qu'il pensait qu'elle pourrait fournir un moyen de comprendre la nature des mathématiques elles-mêmes. Il pensait que si nous parvenions à trouver un système formel superformidable, nous pourrions l’utiliser pour prouver la cohérence de toutes les vérités mathématiques, et ainsi acquérir une compréhension plus profonde des fondements des mathématiques. Cependant, malgré de nombreux efforts, personne n’a encore réussi à trouver un système formel superformidable suffisamment puissant pour prouver toutes les vérités mathématiques.