Mikä on superformidability matematiikassa?

Superformidable on termi, jonka suosio matemaatikko ja polymaatti John Horton Conway. Se on leikkisä tapa viitata tietyntyyppiseen matemaattiseen objektiin, joka on muodollisen järjestelmän yleistys.

Matematiikassa muodollinen järjestelmä on joukko sääntöjä matemaattisten lausekkeiden rakentamiseksi ja käsittelemiseksi. Esimerkiksi muodollinen järjestelmä voi sisältää joukon aksioomeja (lauseita, joiden oletetaan olevan tosia ilman todisteita), joukon päättelysääntöjä (jotka antavat meille mahdollisuuden johtaa uusia väitteitä annetuista) ja joukon symboleja (esim. 0, 1 ja +), joita voimme käyttää lausekkeiden rakentamiseen.

Superformidable on muodollinen järjestelmä, jolla on ominaisuus, että jokainen järjestelmässä esitetty väite voidaan todistaa joko oikeaksi tai epätosi käyttämällä vain järjestelmän sääntöjä. Toisin sanoen, jos väitettä ei voida todistaa oikeaksi tai epätosi järjestelmän sääntöjen avulla, se ei ole superformedable.

Superformedability on vahva ehto, jota kaikki muodolliset järjestelmät eivät täytä. Esimerkiksi aritmeettinen standardijärjestelmä (joka sisältää luonnolliset luvut ja tavanomaiset yhteen- ja kertolaskuoperaatiot) ei ole ylivoimainen, koska luonnollisista luvuista on väitteitä, joita ei voida todistaa oikeaksi tai epätosi vain järjestelmän säännöillä. .

John Horton Conway oli kiinnostunut superformidabilitystä, koska hän uskoi, että se voisi tarjota tavan ymmärtää itse matematiikan luonne. Hän ajatteli, että jos löytäisimme mahtavan muodollisen järjestelmän, voisimme käyttää sitä todistamaan kaikkien matemaattisten totuuksien johdonmukaisuuden ja siten saamaan syvemmän ymmärryksen matematiikan perusteista. Suurista ponnisteluista huolimatta kukaan ei ole kuitenkaan vielä löytänyt mahtavaa muodollista järjestelmää, joka olisi tarpeeksi tehokas todistamaan kaikki matemaattiset totuudet.