Czym jest superformidalność w matematyce?

Superformidable to termin spopularyzowany przez matematyka i polityka Johna Hortona Conwaya. Jest to zabawny sposób odwoływania się do pewnego typu obiektu matematycznego, który jest uogólnieniem systemu formalnego.… W matematyce system formalny to zbiór zasad konstruowania wyrażeń matematycznych i manipulowania nimi. Na przykład system formalny może zawierać zbiór aksjomatów (twierdzenia, które przyjmuje się za prawdziwe bez dowodu), zestaw reguł wnioskowania (które pozwalają nam wyprowadzać nowe twierdzenia z danych) oraz zestaw symboli (takich jak 0, 1 i +), których możemy użyć do budowy wyrażeń.

Nadzwyczajny to system formalny, który ma tę właściwość, że każde zdanie, które można w nim złożyć, można udowodnić jako prawdziwe lub fałszywe, korzystając wyłącznie z reguł systemu. Innymi słowy, jeśli twierdzenia nie można udowodnić ani prawdziwego, ani fałszywego przy użyciu reguł systemu, to nie jest ono superformidalne.… Superformidability to silny warunek, który nie spełnia wszystkich systemów formalnych. Na przykład standardowy system arytmetyki (który obejmuje liczby naturalne oraz zwykłe operacje dodawania i mnożenia) nie jest superwspaniały, ponieważ istnieją twierdzenia dotyczące liczb naturalnych, których nie można udowodnić ani prawdziwości, ani fałszu, stosując wyłącznie reguły systemu …John Horton Conway interesował się superpotężnością, ponieważ wierzył, że może ona pomóc w zrozumieniu natury samej matematyki. Uważał, że jeśli uda nam się znaleźć potężny system formalny, będziemy w stanie wykorzystać go do udowodnienia spójności wszystkich prawd matematycznych i w ten sposób uzyskać głębsze zrozumienie podstaw matematyki. Jednak pomimo wielu wysiłków nikomu nie udało się dotychczas znaleźć potężnego systemu formalnego, który byłby na tyle potężny, aby udowodnić wszystkie prawdy matematyczne.