Khả năng siêu phàm trong toán học là gì?

Siêu mẫu là một thuật ngữ được phổ biến rộng rãi bởi nhà toán học và học giả John Horton Conway. Đó là một cách vui nhộn để đề cập đến một loại đối tượng toán học nhất định, là sự khái quát hóa của một hệ thống hình thức.

Trong toán học, một hệ thống hình thức là một tập hợp các quy tắc để xây dựng và thao tác các biểu thức toán học. Ví dụ: một hệ thống hình thức có thể bao gồm một tập hợp các tiên đề (các mệnh đề được giả định là đúng mà không cần chứng minh), một tập hợp các quy tắc suy luận (cho phép chúng ta rút ra các mệnh đề mới từ các mệnh đề đã cho) và một tập hợp các ký hiệu (chẳng hạn như 0, 1 và +) mà chúng ta có thể sử dụng để xây dựng các biểu thức.

Một siêu hình thức là một hệ thống hình thức có đặc tính là mọi phát biểu có thể được đưa ra trong hệ thống đều có thể được chứng minh là đúng hoặc sai chỉ bằng cách sử dụng các quy tắc của hệ thống. Nói cách khác, nếu một tuyên bố không thể được chứng minh là đúng hay sai bằng cách sử dụng các quy tắc của hệ thống, thì đó không phải là siêu định dạng.

Khả năng siêu định dạng là một điều kiện mạnh mà không phải tất cả các hệ thống chính thức đều đáp ứng. Ví dụ, hệ thống số học tiêu chuẩn (bao gồm các số tự nhiên và các phép tính cộng và nhân thông thường) không phải là siêu phàm, bởi vì có những phát biểu về số tự nhiên không thể được chứng minh là đúng hay sai chỉ bằng cách sử dụng các quy tắc của hệ thống. .

John Horton Conway quan tâm đến khả năng siêu định hình vì ông tin rằng nó có thể cung cấp một cách để hiểu bản chất của toán học. Ông nghĩ rằng nếu chúng ta có thể tìm ra một hệ thống hình thức siêu cường, chúng ta có thể sử dụng nó để chứng minh tính nhất quán của mọi chân lý toán học, và từ đó đạt được sự hiểu biết sâu sắc hơn về nền tảng của toán học. Tuy nhiên, dù có rất nhiều nỗ lực nhưng vẫn chưa ai có thể tìm ra một hệ thống hình thức siêu khủng khiếp đủ mạnh để chứng minh mọi chân lý toán học.