数学における超驚異的な能力とは何ですか?
スーパーフォーミダブルは、数学者で博学者のジョン・ホートン・コンウェイによって広められた用語です。これは、形式システムの一般化である特定のタイプの数学的オブジェクトを指す遊び心のある方法です。数学において、形式システムとは、数式を構築および操作するための一連の規則です。たとえば、正式なシステムには、一連の公理 (証明なしで真であると想定される命題)、一連の推論規則 (与えられた命題から新しい命題を導き出すことを可能にする)、および一連の記号 (次のような命題) が含まれる場合があります。スーパーフォーミダブルは、システム内で行われるすべてのステートメントが、システムのルールのみを使用して真か偽かを証明できるという特性を持つ正式なシステムです。言い換えれば、システムのルールを使用してステートメントが真か偽かを証明できない場合、そのステートメントは超強力ではありません。超強力とは、すべての形式システムが満たすわけではない強力な条件です。たとえば、標準的な算術体系 (自然数と通常の加算と乗算を含む) は、超強力というわけではありません。自然数については、体系のルールだけを使って真か偽かを証明できない記述があるからです。 .
ジョン ホートン コンウェイが超強力な能力に興味を持ったのは、それが数学そのものの性質を理解する方法を提供する可能性があると信じていたからです。彼は、もし超強力な形式体系を見つけることができれば、それを使ってすべての数学的真理の一貫性を証明することができ、それによって数学の基礎をより深く理解できるかもしれないと考えました。しかし、多くの努力にもかかわらず、すべての数学的真実を証明するのに十分強力な超強力な形式体系を発見できた人はまだ誰もいません。
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