Что такое сверхгрозность в математике?

«Сверхгрозный» — термин, популяризированный математиком и эрудитом Джоном Хортоном Конвеем. Это игровой способ обращения к определенному типу математического объекта, который является обобщением формальной системы.

В математике формальная система представляет собой набор правил для построения математических выражений и управления ими. Например, формальная система может включать набор аксиом (предложений, которые считаются истинными без доказательства), набор правил вывода (которые позволяют нам выводить новые утверждения из данных) и набор символов (таких как 0, 1 и +), которые мы можем использовать для построения выражений.

Сверхформируемая система — это формальная система, обладающая тем свойством, что каждое утверждение, которое может быть сделано внутри системы, может быть доказано как истинное, так и ложное, используя только правила системы. Другими словами, если истинность или ложность утверждения не может быть доказана с использованием правил системы, то оно не является сверхформируемым.

Сверхформируемость - это сильное условие, которому удовлетворяют не все формальные системы. Например, стандартная система арифметики (включающая натуральные числа и обычные операции сложения и умножения) не является сверхпреодолимой, поскольку существуют утверждения о натуральных числах, истинность или ложность которых невозможно доказать, используя только правила системы. .

Джон Хортон Конвей интересовался сверхгрозностью, потому что верил, что она может дать возможность понять природу самой математики. Он думал, что если бы мы смогли найти сверхмощную формальную систему, мы могли бы использовать ее для доказательства непротиворечивости всех математических истин и тем самым получить более глубокое понимание основ математики. Однако, несмотря на большие усилия, никому до сих пор не удалось найти сверхмощную формальную систему, достаточно мощную, чтобы доказать все математические истины.