Cos'è la superformidabilità in matematica?

Superformidabile è un termine reso popolare dal matematico ed eclettico John Horton Conway. È un modo giocoso di riferirsi a un certo tipo di oggetto matematico, che è una generalizzazione di un sistema formale.

In matematica, un sistema formale è un insieme di regole per costruire e manipolare espressioni matematiche. Ad esempio, un sistema formale potrebbe includere un insieme di assiomi (proposizioni che si presuppongono vere senza dimostrazione), un insieme di regole di inferenza (che ci consentono di derivare nuove proposizioni da proposizioni date) e un insieme di simboli (come 0, 1 e +) che possiamo usare per costruire espressioni.

Un superformidabile è un sistema formale che ha la proprietà che ogni affermazione che può essere fatta all'interno del sistema può essere dimostrata vera o falsa utilizzando solo le regole del sistema. In altre parole, se un'affermazione non può essere dimostrata né vera né falsa utilizzando le regole del sistema, allora non è superformidabile.

La superformidabilità è una condizione forte che non tutti i sistemi formali soddisfano. Ad esempio, il sistema aritmetico standard (che comprende i numeri naturali e le consuete operazioni di addizione e moltiplicazione) non è superformidabile, perché ci sono affermazioni sui numeri naturali che non possono essere dimostrate né vere né false utilizzando solo le regole del sistema .

John Horton Conway era interessato alla superformidabilità perché credeva che potesse fornire un modo per comprendere la natura della matematica stessa. Pensava che se fossimo riusciti a trovare un sistema formale superformidabile, avremmo potuto usarlo per dimostrare la coerenza di tutte le verità matematiche, e quindi acquisire una comprensione più profonda dei fondamenti della matematica. Tuttavia, nonostante molti sforzi, nessuno è ancora riuscito a trovare un sistema formale superformidabile che sia abbastanza potente da dimostrare tutte le verità matematiche.