¿Qué es la superformidabilidad en matemáticas?

Superformidable es un término que fue popularizado por el matemático y erudito John Horton Conway. Es una forma lúdica de referirse a cierto tipo de objeto matemático, que es una generalización de un sistema formal. En matemáticas, un sistema formal es un conjunto de reglas para construir y manipular expresiones matemáticas. Por ejemplo, un sistema formal podría incluir un conjunto de axiomas (proposiciones que se suponen verdaderas sin prueba), un conjunto de reglas de inferencia (que nos permiten derivar nuevas proposiciones a partir de otras dadas) y un conjunto de símbolos (como 0, 1 y +) que podemos usar para construir expresiones. Un superformidable es un sistema formal que tiene la propiedad de que cada afirmación que se puede hacer dentro del sistema puede demostrarse como verdadera o falsa usando solo las reglas del sistema. En otras palabras, si un enunciado no puede demostrarse ni verdadero ni falso utilizando las reglas del sistema, entonces no es superformidable.... La superformidabilidad es una condición fuerte que no todos los sistemas formales satisfacen. Por ejemplo, el sistema estándar de aritmética (que incluye los números naturales y las operaciones habituales de suma y multiplicación) no es superformidable, porque hay afirmaciones sobre los números naturales que no pueden demostrarse ni verdaderas ni falsas utilizando únicamente las reglas del sistema. .

John Horton Conway estaba interesado en la superformidabilidad porque creía que podría proporcionar una manera de comprender la naturaleza de las matemáticas mismas. Pensó que si pudiéramos encontrar un sistema formal superformidable, podríamos utilizarlo para demostrar la coherencia de todas las verdades matemáticas y, así, obtener una comprensión más profunda de los fundamentos de las matemáticas. Sin embargo, a pesar de muchos esfuerzos, nadie ha podido encontrar todavía un sistema formal superformidable que sea lo suficientemente potente como para demostrar todas las verdades matemáticas.