Mi a szuperformibilitás a matematikában?

A Superformidable kifejezést John Horton Conway matematikus és polihisztor népszerűsítette. Játékos módon utalhatunk egy bizonyos típusú matematikai objektumra, amely egy formális rendszer általánosítása.

A matematikában a formális rendszer a matematikai kifejezések megalkotására és manipulálására szolgáló szabályok összessége. Például egy formális rendszer tartalmazhat axiómák halmazát (bizonyítás nélkül igaznak feltételezett állítások), következtetési szabályok halmazát (amelyek lehetővé teszik, hogy új állításokat származtassunk adottakból) és szimbólumok halmazát (pl. 0, 1 és +), amelyeket kifejezések felépítésére használhatunk.

A szuperformálható egy formális rendszer, amelynek megvan az a tulajdonsága, hogy a rendszeren belül minden állítás igaz vagy hamis igazolható a rendszer szabályainak felhasználásával. Más szóval, ha egy állítás sem igaz, sem hamis nem igazolható a rendszer szabályaival, akkor nem szuperformálható.

A szuperformibilitás erős feltétel, amelyet nem minden formális rendszer teljesít. Például a sztenderd aritmetikai rendszer (amely tartalmazza a természetes számokat és az összeadás és szorzás szokásos műveleteit) nem szuperformálható, mert vannak olyan állítások a természetes számokról, amelyeket a rendszer szabályaival nem lehet sem igaznak, sem hamisnak bizonyítani. .

John Horton Conwayt érdekelte a szuperformabilitás, mert úgy gondolta, hogy ez módot nyújthat magának a matematika természetének megértésére. Úgy gondolta, hogy ha találunk egy nagyszerű formális rendszert, akkor azt felhasználhatjuk minden matematikai igazság következetességének bizonyítására, és ezáltal mélyebben megérthetjük a matematika alapjait. A sok erőfeszítés ellenére azonban még senkinek sem sikerült találnia egy olyan nagyszerű formális rendszert, amely elég erős lenne minden matematikai igazság bizonyítására.