O que é superformidabilidade em matemática?

Superformidável é um termo que foi popularizado pelo matemático e polímata John Horton Conway. É uma forma lúdica de se referir a um certo tipo de objeto matemático, que é uma generalização de um sistema formal.

Em matemática, um sistema formal é um conjunto de regras para construir e manipular expressões matemáticas. Por exemplo, um sistema formal pode incluir um conjunto de axiomas (proposições que são consideradas verdadeiras sem prova), um conjunto de regras de inferência (que nos permitem derivar novas proposições a partir de determinadas) e um conjunto de símbolos (como 0, 1 e +) que podemos usar para construir expressões.

Um superformidável é um sistema formal que tem a propriedade de que cada afirmação que pode ser feita dentro do sistema pode ser provada como verdadeira ou falsa usando apenas as regras do sistema. Em outras palavras, se uma afirmação não pode ser provada verdadeira ou falsa usando as regras do sistema, então ela não é superformidável.

A superformidabilidade é uma condição forte que nem todos os sistemas formais satisfazem. Por exemplo, o sistema padrão de aritmética (que inclui os números naturais e as operações usuais de adição e multiplicação) não é superformidável, porque existem afirmações sobre os números naturais que não podem ser provadas como verdadeiras ou falsas usando apenas as regras do sistema. .

John Horton Conway estava interessado na superformidabilidade porque acreditava que ela poderia fornecer uma maneira de compreender a natureza da própria matemática. Ele pensava que se pudéssemos encontrar um sistema formal superformidável, poderíamos ser capazes de usá-lo para provar a consistência de todas as verdades matemáticas e, assim, obter uma compreensão mais profunda dos fundamentos da matemática. No entanto, apesar de muito esforço, ninguém ainda foi capaz de encontrar um sistema formal superformidável que seja poderoso o suficiente para provar todas as verdades matemáticas.