수학에서 초형성이란 무엇입니까?
Superformidable은 수학자이자 박식가인 John Horton Conway가 대중화한 용어입니다. 이는 형식 시스템의 일반화인 특정 유형의 수학적 대상을 언급하는 재미있는 방법입니다.
수학에서 형식 시스템은 수학적 표현을 구성하고 조작하기 위한 일련의 규칙입니다. 예를 들어, 형식 시스템에는 일련의 공리(증명 없이 참이라고 가정되는 명제), 일련의 추론 규칙(주어진 명제로부터 새로운 명제를 도출할 수 있게 해줌), 일련의 기호(예: 0, 1 및 +) 표현식을 작성하는 데 사용할 수 있습니다. 초형성은 시스템 내에서 만들어질 수 있는 모든 진술이 시스템의 규칙만을 사용하여 참 또는 거짓으로 입증될 수 있다는 속성을 가진 형식 시스템입니다. 즉, 시스템의 규칙을 사용하여 진술이 참 또는 거짓을 증명할 수 없으면 초형성이 불가능합니다.
초형성은 모든 형식 시스템이 충족하지 않는 강력한 조건입니다. 예를 들어, (자연수와 일반적인 덧셈과 곱셈 연산을 포함하는) 산술의 표준 체계는 초강력하지 않습니다. 왜냐하면 그 체계의 규칙만으로는 참이나 거짓을 증명할 수 없는 자연수에 관한 명제가 있기 때문입니다. .
John Horton Conway는 초강력성이 수학 자체의 본질을 이해하는 방법을 제공할 수 있다고 믿었기 때문에 초형성에 관심이 있었습니다. 그는 우리가 초강력 형식 체계를 찾을 수 있다면 그것을 사용하여 모든 수학적 진리의 일관성을 증명하고 수학의 기초에 대한 더 깊은 이해를 얻을 수 있을 것이라고 생각했습니다. 그러나 많은 노력에도 불구하고 아직까지 모든 수학적 진리를 증명할 수 있을 만큼 강력한 초강력 형식 체계를 찾는 사람은 아무도 없습니다.
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