Wat is superformidabiliteit in de wiskunde?

Superformidable is een term die werd gepopulariseerd door de wiskundige en polymath John Horton Conway. Het is een speelse manier om naar een bepaald type wiskundig object te verwijzen, dat een generalisatie is van een formeel systeem. In de wiskunde is een formeel systeem een reeks regels voor het construeren en manipuleren van wiskundige uitdrukkingen. Een formeel systeem kan bijvoorbeeld een reeks axioma's omvatten (stellingen waarvan wordt aangenomen dat ze waar zijn zonder bewijs), een reeks gevolgtrekkingsregels (die ons in staat stellen nieuwe stellingen af te leiden uit gegeven stellingen) en een reeks symbolen (zoals 0, 1 en +) die we kunnen gebruiken om uitdrukkingen te bouwen. Een superformidabel is een formeel systeem dat de eigenschap heeft dat elke bewering die binnen het systeem kan worden gedaan, waar of onwaar kan worden bewezen met alleen de regels van het systeem. Met andere woorden: als een bewering niet waar of onwaar kan worden bewezen met behulp van de regels van het systeem, dan is deze niet superformideerbaar. Superformidabiliteit is een sterke voorwaarde waaraan niet alle formele systemen voldoen. Het standaard rekensysteem (dat de natuurlijke getallen en de gebruikelijke bewerkingen van optellen en vermenigvuldigen omvat) is bijvoorbeeld niet superformidabel, omdat er uitspraken zijn over de natuurlijke getallen die niet waar of onwaar kunnen worden bewezen met alleen de regels van het systeem. .

John Horton Conway was geïnteresseerd in superformidabiliteit omdat hij geloofde dat dit een manier zou kunnen zijn om de aard van de wiskunde zelf te begrijpen. Hij dacht dat als we een superformidabel formeel systeem konden vinden, we het zouden kunnen gebruiken om de consistentie van alle wiskundige waarheden te bewijzen, en daardoor een dieper inzicht zouden krijgen in de grondslagen van de wiskunde. Ondanks veel moeite is het echter nog niemand gelukt een superformidabel formeel systeem te vinden dat krachtig genoeg is om alle wiskundige waarheden te bewijzen.