Apa itu Superformidabilitas dalam Matematika?

Superformidable adalah istilah yang dipopulerkan oleh ahli matematika dan polimatik John Horton Conway. Ini adalah cara yang menyenangkan untuk merujuk pada jenis objek matematika tertentu, yang merupakan generalisasi dari sistem formal.

Dalam matematika, sistem formal adalah seperangkat aturan untuk membangun dan memanipulasi ekspresi matematika. Misalnya, sistem formal mungkin mencakup serangkaian aksioma (proposisi yang dianggap benar tanpa bukti), serangkaian aturan inferensi (yang memungkinkan kita memperoleh proposisi baru dari proposisi tertentu), dan serangkaian simbol (seperti sebagai 0, 1, dan +) yang dapat kita gunakan untuk membangun ekspresi.

A superformidable adalah sistem formal yang memiliki sifat bahwa setiap pernyataan yang dapat dibuat dalam sistem dapat dibuktikan benar atau salah hanya dengan menggunakan aturan sistem. Dengan kata lain, jika suatu pernyataan tidak dapat dibuktikan benar atau salah dengan menggunakan aturan-aturan sistem, maka pernyataan tersebut tidak superformidable.

Superformidabilitas adalah kondisi kuat yang tidak dapat dipenuhi oleh semua sistem formal. Misalnya, sistem aritmatika standar (yang mencakup bilangan asli dan operasi penjumlahan dan perkalian biasa) tidak superformidable, karena ada pernyataan tentang bilangan asli yang tidak dapat dibuktikan benar atau salah hanya dengan menggunakan aturan sistem. .

John Horton Conway tertarik pada kemampuan superformid karena dia percaya bahwa hal itu mungkin memberikan cara untuk memahami hakikat matematika itu sendiri. Dia berpikir bahwa jika kita dapat menemukan sistem formal yang sangat kuat, kita mungkin dapat menggunakannya untuk membuktikan konsistensi semua kebenaran matematika, dan dengan demikian memperoleh pemahaman yang lebih dalam tentang dasar-dasar matematika. Namun, meskipun banyak upaya, belum ada yang mampu menemukan sistem formal yang sangat kuat yang cukup kuat untuk membuktikan semua kebenaran matematika.