Vad är superformidabilitet i matematik?

Superformidable är en term som populariserades av matematikern och polymaten John Horton Conway. Det är ett lekfullt sätt att referera till en viss typ av matematiska objekt, som är en generalisering av ett formellt system.

I matematiken är ett formellt system en uppsättning regler för att konstruera och manipulera matematiska uttryck. Ett formellt system kan till exempel inkludera en uppsättning axiom (påståenden som antas vara sanna utan bevis), en uppsättning inferensregler (som tillåter oss att härleda nya påståenden från givna) och en uppsättning symboler (som t.ex. 0, 1 och +) som vi kan använda för att bygga uttryck.

En superformidabel är ett formellt system som har egenskapen att varje påstående som kan göras inom systemet kan bevisas antingen sant eller falskt med bara systemets regler. Med andra ord, om ett påstående inte kan bevisas vare sig sant eller falskt med hjälp av systemets regler, så är det inte superformidabelt.

Superformidabilitet är ett starkt villkor som inte alla formella system uppfyller. Till exempel är standardsystemet för aritmetik (som inkluderar de naturliga talen och de vanliga operationerna för addition och multiplikation) inte superformidabelt, eftersom det finns påståenden om de naturliga talen som inte kan bevisas vare sig sanna eller falska med bara systemets regler .

John Horton Conway var intresserad av superformidabilitet eftersom han trodde att det kunde ge ett sätt att förstå själva matematikens natur. Han tänkte att om vi kunde hitta ett superformidabelt formellt system skulle vi kanske kunna använda det för att bevisa överensstämmelsen hos alla matematiska sanningar, och därigenom få en djupare förståelse för matematikens grunder. Men trots stora ansträngningar har ingen ännu lyckats hitta ett superformidabelt formellt system som är kraftfullt nog att bevisa alla matematiska sanningar.